# 二维叉积图解：点在有向直线的哪一侧？

用同尺度数学坐标、三角形有向面积和平移动画理解二维叉积。判断点在直线左侧、右侧或共线，区分共线与线段内，并用 BigInt 避免大整数误判。

原文 / Canonical: https://crazycloud.cc/learn/cross-product-orientation
作者: crazycloudcc
首次发布: 2026-10-29
更新: 2026-10-30

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## 一句话答案

先取 u=B−A、v=C−A，再计算 det=ux·vy−uy·vx。数学坐标 y 向上时，det>0 表示从 A 看向 B 的左侧，det<0 表示右侧，det=0 表示共线。A=B 没有有向直线，方向未定义。det/2 是三角形 ABC 的有向面积，长度单位平方。

## 适用条件与边界

坐标模型接收三个二维安全整数点，并在相减前把每个坐标转成 BigInt；负零按零处理。交互图只接受−6到6整数，横纵每单位同长、数学y向上，平移前后比例固定。CSES2189保证A≠B，本课额外明确退化情况。TOUCH是该题的共线输出词，不意味着C位于线段AB内。

## 不变量

同一平移不改变向量差和det；图形始终采用y向上且横纵同尺度坐标。A≠B时符号定义左右，交换A/B反号；有向面积为det/2，通常几何面积为|det|/2。

## 逐步例子

1. 原创示例A=(−3,−2)、B=(3,1)、C=(0,4)。将三个点同时减去A，得到u=(6,3)、v=(3,6)。这只是平移，方向和三角形面积均不变。
2. 计算p=6×6=36、q=3×3=9；det=p−q=27，所以C在A→B左侧，有向面积13.5。图中的两框表示乘积，几何面积按绝对值绘制，乘积文字保留正负。
3. 为什么两项相减？以共同原点的u、v组成平行四边形，其有向面积是ux·vy−uy·vx；三角形只有一半。交换u、v会改变朝向并使符号反转。
4. 交换A与B后，以新的起点重算两条向量；det(B,A,C)=−det(A,B,C)，有向直线左右颠倒。整体平移不改变det；统一放大s倍使det乘s²。
5. det=0只说明共线。A=(−2,0)、B=(1,0)、C=(4,0)仍输出TOUCH，但C不在线段内。线段内还须满足min(Ax,Bx)≤Cx≤max(Ax,Bx)，且y坐标也在包围范围内。
6. C=A或C=B在A≠B时合法且共线；A=B时没有观察方向，方向返回UNDEFINED。退化闭线段为单点，仅C=A时属于它。
7. 大整数反例A=(0,0)、B=(10⁹,10⁹−1)、C=(10⁹−1,10⁹−2)的精确det=−1。两个约10¹⁸乘积相减，不能用Number近似零判断；本课先逐坐标转BigInt，再作全部算术。
8. 应用：2026年10月24日的AtCoder ABC481 E要求选一条过原点、但不经过任何星点的直线，再选一侧使星数尽量多。固定非零方向u，把A设为原点、B设为u，便可逐点计算det(u,P)。例如u=(1,−1)，官方首组样例的四点(2,1)、(2,−1)、(−1,2)、(−2,−3)依次得到3、1、1、−5，因此这条线两侧为3颗和1颗。
9. 这只是固定方向的判侧应用，不是ABC481 E的完整最优方向算法，也不能仅凭一次计数证明全局最优。u改为−u只会交换左右计数，不改变两侧较大值；若某点det=0，该候选直线经过星点，在此题中非法，不能把它随意分给任一侧。u=(0,0)根本不定义方向。原题还需寻找最优的合法方向；本课不实现这一步，也不把竞赛题出现当作搜索热度证据。

## 精确计算与复杂度

每组三点使用固定次数的减法和乘法。在固定宽度整数模型中为O(1)时间、O(1)额外空间；BigInt的位运算成本仍随整数位数增长，不能宣称任意精度运算绝对常数时间。输入为Number时必须先确认每个坐标是安全整数；已经舍入的大整数无法靠BigInt补救。必须在相减前转换，因为两个安全整数之差也可能不安全。浮点测量坐标不在本课精确整数模型内，不能随意套固定epsilon。

## 常见误区

- 把屏幕向下的y坐标直接套进数学左右判定，导致符号倒转
- 只计算斜率：竖直线除零，且不同方向容易混淆
- 把TOUCH共线误当成在线段内，漏掉包围范围检查
- A=B仍强行声称左侧或右侧
- 先用Number相减/相乘再转BigInt，精度已无法恢复
- 用BigInt除2截断半整数面积，或把负有向面积当负几何面积

## 自测

A=(0,0)、B=(2,0)、C=(5,0)的det和线段归属是什么？交换A/B呢？

det=0，方向输出TOUCH（共线），但C不在线段AB内。交换A/B仍为0；若C不共线，交换方向才表现为LEFT/RIGHT互换。

## 延伸学习

坐标差既能算长度，也能用行列式判断方向；两者不是同一种量。

[坐标距离：长度与方向](https://crazycloud.cc/learn/coordinate-distance)

## 参考资料

- [AtCoder ABC481 E：Most Brilliant Starry Sky（2026-10-24；固定方向应用，非完整题解）](https://atcoder.jp/contests/abc481/tasks/abc481_e)
- [CSES 2189：Point Location Test（LEFT / RIGHT / TOUCH）](https://cses.fi/problemset/task/2189)
- [CSES 2192：Point in Polygon（应用阅读，非本课完整实现）](https://cses.fi/problemset/task/2192)
- [CSES 2195：Convex Hull（应用阅读，非本课完整实现）](https://cses.fi/problemset/task/2195)

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