# 相似三角形（Similar Triangles）图解：路灯下，影长和距离怎样变化？ 从路灯、人和影尖组成的两个直角三角形出发，标出对应角与边，连续放大重合，推导影长公式；分清影长和影尖的位置。 原文 / Canonical: https://crazycloud.cc/learn/similar-triangles 作者: crazycloudcc 首次发布: 2026-10-11 更新: 2026-10-11 本阅读版与网页共用课程数据；互动请访问原文。 ## 一句话答案 两个三角形有两组对应角相等，就由 AA 判定相似，对应边成比例。在本页的平地点光源模型中，灯高 H、身高 h、离灯距离 x、影长 s 满足 H/(x+s)=h/s，因此 s=hx/(H−h)。固定 H、h 时，s 与 x 成正比。 ## 适用条件与边界 地面水平，灯和人竖直，灯是固定的理想点光源，身体简化为竖直线段；所有长度使用米。有限远端影尖要求 H>h>0 且 x>0。实验限制灯高 H 为4–10、身高 h 为1–3、离灯距离 x 为1–8，步长0.5；这保证两三角形非退化、数值有限。忽略物体宽度、光源大小、散射和半影。 ## 不变量 在平地、竖直、固定点光源且 H>h>0、x>0 的模型中，两三角形始终 AA 相似，H/h=(x+s)/s。以影尖为中心放大 H/h 倍，小三角形恰好覆盖大三角形。 ## 逐步例子 1. 命名三个距离：x 从灯底量到脚，s 从脚量到影尖 T，q=x+s 从灯底量到影尖。大三角形的高为 H、底为 q；小三角形的高为 h、底为 s。 2. 竖直线与水平地面垂直，所以两三角形各有一个直角；它们还共享影尖 T 处的锐角。两组对应角相等，由 AA 判定相似。 3. 把对应边写成同一顺序：大高/小高=大底/小底，即 H/h=(x+s)/s；也可写 H/(x+s)=h/s。不能把大底边写成 x。 4. 交叉相乘得 Hs=h(x+s)，整理为 (H−h)s=hx。由于 H>h，所以 s=hx/(H−h)，影尖位置 q=Hx/(H−h)。 5. 例子：H=6、h=2、x=4，影长 s=2×4/(6−2)=2 m，影尖距灯底 q=4+2=6 m。把 x 改为8，s=4 m、q=12 m；H、h 不变时比例系数 s/x=1/2 不变。 6. 以影尖 T 为中心，把小三角形放大 H/h 倍。脚映到灯底，头映到灯顶，T 保持不动，恰好覆盖大三角形。动画只是展示对应关系；一般结论来自 AA 相似与上述代数推导。 ## 模型边界与计算 只在最后显示时取近似值，计算中保留精度。x=0 时 s=0 是这一模型从右侧趋近的极限，但三角形退化，不能在那里用 AA 图形作证。x>0 时，H=h 的头顶光线水平，H1：小三角形的三条边都乘 k，周长作为三边之和也乘 k；底和对应的垂直高都乘 k，所以面积“½×底×高”会乘 k²。按大/小的同一顺序，边长比、周长比、面积比分别为 k、k、k²；改成小/大则分别为 1/k、1/k、1/k²。图中的半透明轮廓在变换，不是人真的变高。 ## 自测 灯高6 m、身高2 m，人离灯4 m。若只把离灯距离改为8 m，影长和影尖距灯底分别是多少？若只改变身高，原来的 s/x=1/2 还保持吗？ 影长4 m，影尖距灯底12 m。改变身高会改变 h/(H−h)，所以一般不再保持1/2；不能把三个距离混为一谈，也不能漏掉固定高度的条件。 ## 延伸学习 勾股定理联系一个直角三角形的三边；相似比例联系两个三角形的对应边。先辨认图形和已知条件，再选择关系。 [相关实验：勾股定理与直角条件](https://crazycloud.cc/learn/pythagorean-theorem) ## 参考资料 - [Euclid《几何原本》VI.4：对应角相等的三角形，其对应边成比例](https://mathcs.clarku.edu/~djoyce/elements/bookVI/propVI4.html) - [University of Waterloo CEMC：相似与全等、相似三角形课程](https://courseware.cemc.uwaterloo.ca/46?gid=161) - [Mr. Yang：Related Rates 课堂的影子比例提醒（本页只讲相似，不讲求导）](https://mryangteacher.weebly.com/unit-4-related-rates--applications-part-1.html) [返回图解实验室](https://crazycloud.cc/learn)