算法 / 整除与倍数
最小公倍数 Least common multiple
沿两排倍数向前走，找到第一次共同的正落点。
24同时是6和8的倍数；前面没有共同的正落点。
回放按数值大小合并两排落点，同值只算一步；不是每步同时各跳一次。答案一直可读，动画只帮助观察。滑块可用方向键与 Home / End；窄屏图形可左右滚动。
为什么先除掉共同因子？
把共同尺度 d = 2 提出来：a = d × 3，b = d × 4，剩下的 3 和 4 互质。
一般地，写成 a=dx、b=dy。dxy 同时是两数的倍数。若另一个正公倍数 M=ka 也被 b 整除，则 y 整除 kx；因为 x、y 互质，y 必须整除 k。所以每个正公倍数都包含 dxy，最小的就是它。这里用到互质整除引理，试几个例子本身不能替代证明。
// 本实验仅接受1到20的正整数
const a = 6, b = 8;
let x = a, y = b;
while (y !== 0) {
const r = x % y;
x = y; y = r;
}
const d = x; // 2
const result = (a / d) * b; // 24先除后乘可减小中间值，但不保证任意大数都安全。本课范围内最大结果380；更大整数需要另定精度与溢出策略。绘制倍数的开销不计入上述求值算法。
三个数，不能直接照搬乘积公式
3、12、10 的 gcd 是1，乘积是360，但最小公倍数是60。两数恒等式不能直接变成“三数乘积 ÷ 三数gcd”。
正确做法是两两折叠：lcm(3,12)=12，再算 lcm(12,10)=12÷2×10=60。每个共同倍数先被12整除，再要求被10整除；没有丢掉任何共同倍数。图中仍只演示两个数。
看完图，带走这些结论
正整数a、b的最小公倍数，是同时被a和b整除的最小正整数。令d=gcd(a,b)，则lcm(a,b)=(a/d)×b。6与8的倍数第一次在24相遇，因为gcd(6,8)=2，6÷2×8=24。
适用条件与边界
本课的LCM输入只讨论正整数；交互和同步代码仅接受1–20，结果不超过380。0只是数轴起点，不是正公倍数候选。负数、小数、空输入以及零输入的其他约定不在本课LCM输入范围内。两排必须使用同一数值刻度；输入改变后视野重新适配，不能跨输入比较像素长度。
始终保持的规律
两排同值落点拥有相同横坐标。令a=dx、b=dy且x、y互质，每个正公倍数都是dxy的正整数倍。
逐步例子
- 上排每次加6：6、12、18、24；下排每次加8：8、16、24。横坐标按数值对齐，不按第几个倍数对齐。24之前没有共同正落点，所以最小公倍数是24。
- 先求d=gcd(6,8)=2，写成6=2×3、8=2×4。3与4互质，把共同因子2保留一次，得到2×3×4=24，而不是直接乘成48。
- 一般地，设a=dx、b=dy，则x、y互质。dxy是两数的公倍数。若正公倍数M=ka也被b整除，就有y整除kx；由互质整除引理，y整除k，所以dxy整除M。它因此是最小的正公倍数。
- 相等时lcm(a,a)=a；一个数整除另一个时答案是较大数；互质时gcd=1，答案才等于两数乘积。1与任一正整数b的最小公倍数就是b。
- 三个数用两两折叠：lcm(3,12)=12，再算lcm(12,10)=60。3、12、10的gcd为1，乘积360不等于gcd×lcm的60；两数恒等式不能直接推广为三数乘积公式。
求值、绘图与精度
用欧几里得算法求GCD，再计算(a/d)×b；在单位成本整数算术模型下为O(1+log min(a,b))时间、O(1)额外空间。先除后乘减小中间值，但不保证任意大数都安全。实验范围内整数运算精确，最大结果为lcm(19,20)=380。枚举、排序回放落点与绘图另有开销，不是这个求值复杂度的一部分。
常见误区
- 把0当最小值：0虽是两数的整数倍，但定义寻找的是最小正公倍数。
- 直接相乘总是最小：ab是一个正公倍数，但a、b有共同因子时可能更大，例如6×8=48，而最小值24已经够用。
- 按第k次跳跃对齐两排：6的第1个倍数与8的第1个倍数不在同一位置；要比较相同数值。
- 把GCD和LCM混为一谈：GCD整除两数，LCM被两数整除。本课求的是后者。
- 把三数乘积除以三数GCD：这不是普遍成立的公式；两两折叠仍然成立，因为每步保留相同的共同倍数集合。
- 把图例当一般证明：两排落点帮助观察，最小性还要用互质整除引理或质因数指数给出推导。
自测与答案
8与12的最小公倍数是多少？7与7呢？3、12、10能否用360÷1直接得到最小公倍数？
gcd(8,12)=4，最小公倍数8÷4×12=24；相等的7与7得到7。三数不能这样直接套公式，正确折叠得到60，360只是一个更大的公倍数。
把最小公倍数用在通分里
- 通分为什么常用LCM？必须选最小的吗？ 以同一个整体为1，1/6和1/8表示不同大小的一份，不能直接把份数相加。把整体分成24个等份：1/6=(1×4)/(6×4)=4/24，1/8=(1×3)/(8×3)=3/24；分子分母同乘同一个正整数，相当于乘4/4或3/3，值不变。于是4/24+3/24=(4+3)×(1/24)=7/24，相加的是同样大小的份数，每份仍为1/24。也可以用48作公分母，得到8/48+6/48=14/48=7/24。一般地，原分母b、d为正整数，任何同时被b、d整除的正整数M都可用来通分，因为M/b、M/d都是正整数；LCM只是在这些公倍数中最小的，并非必须选择它。通分是一种计算方法，不是分数能够相加的前提。
- 用LCM通分，结果一定最简吗？ 不一定。即使原分数都已最简，1/6+1/3=1/6+2/6=3/6仍须约成1/2。原分数未约分时，先约分还可能用更小的公分母：2/6+2/8先化成1/3+1/4，就能用12通分；原分母6、8的LCM仍是24。通分与结果约分是不同步骤，约分可用GCD，详见下方前置课。这里是整数分母的文字应用；上方交互和同步代码仍只求两个1–20正整数的LCM，不计算分数加法。
参考资料
教学结构参考 AetherViz Master（MIT）；原创原生 SVG，无外部图形脚本。