几何 / 面积拼补
勾股定理 Pythagorean theorem
同样的四块三角形，
留下相等的面积。
25c²=9a²+16b²
去掉相同部分，余下面积相等
相同外框 (a+b)² = 49，减去同样四块三角形 4×ab/2 = 24，剩余面积都是 25。
调节 a、b，图形与算式同步变化。所有滑块支持方向键；Home / End 到两端。颜色之外，也用 a²、b²、c² 与 1–4 编号区分区域。
中间看起来像正方形，为什么它真的是？
四条边都是三角形的斜边 c，所以等长。任一内角加上相邻两个锐角等于 180°；直角三角形的两个锐角之和是 90°，所以这个内角也是 90°。等边且四个直角，才让中间面积确实等于 c²。
证明不靠 3、4、5 的巧合：a 和 b 是任意正的直角边。图形滑块的 1–8 范围只是为了方便观察。
反例实验 / 别漏掉直角
把夹角改变，还会相等吗？
两边仍为 3 和 4，让它们的夹角 θ 改变。第三边 c 跟着改变；只有 θ = 90° 时，c² 才等于 25。
c² ≈ 13.00 ≠ 3² + 4² = 25
这里用余弦定理计算：c² = 3² + 4² − 2×3×4×cos θ。90° 时 cos θ = 0，才回到勾股定理。
先想一想：直角边是 5 和 12，斜边是 17 吗？
不是。斜边 c = √(5²+12²) = √169 = 13。先加平方，再开平方；不是把两条边直接相加。
看完图，带走这些结论
在平面直角三角形中，两条直角边长为 a、b，直角对面的斜边长为 c，则 a² + b² = c²。它说的是三个正方形的面积关系，不是两条边长相加等于第三条边长。
适用条件与边界
a、b、c 都是正的长度，并使用同一单位。a、b 的夹角必须是 90°，c 才是斜边；不能仅凭图形看起来像直角就套公式。本页讨论平面欧氏几何中的非退化三角形。反过来，在一个三角形中，若最长边 c 满足 a² + b² = c²，则 c 对面的角是直角，这就是勾股定理的逆定理。
始终保持的规律
两种摆法保持同一边长 a + b 的正方形外框，以及同四个面积 ab / 2 的全等直角三角形。它们在起点与终点的完整摆法中无重叠、无遗漏，因此余下的 c² 与 a² + b² 必然相等。
逐步例子
- 先准备四个全等的直角三角形，每块的直角边为 a、b，斜边为 c，面积都是 ab / 2；外框固定为边长 a + b 的正方形。
- 摆法一：把四块三角形放在外框四角，直角朝外，四条斜边围出中间的四边形。它的边长都是 c；直角三角形的两个锐角之和为 90°，所以中间每个角也是 90°，余下的是面积 c² 的正方形。
- 摆法二：在同一个外框中，只平移这四块三角形，让它们两两拼成两个 a × b 的长方形。两个长方形放在对角的区域，余下两个正方形，边长分别为 a、b，面积之和为 a² + b²。
- 两种摆法都没有重叠或遗漏：同一个面积 (a + b)² 的外框，减去同四块三角形的总面积 4 × ab / 2，余下面积必然相等。因此 c² = (a + b)² − 4 × ab / 2 = a² + b²。这个论证适用于任意正的 a、b，并不只验证某一个数值例子。
- 代入 a = 3、b = 4：外框面积为 7² = 49，四块三角形总面积为 4 × 6 = 24，余下 25。另一种摆法余下 3² + 4² = 9 + 16 = 25，所以 c² = 25，长度 c = 5。
- 逆定理用来判定直角：已知一个三角形三边为 3、4、5，先选最长边 5，再验算 3² + 4² = 5²，可知 5 对面的角为 90°。这是从边长判断角度，方向与已知直角后求斜边不同。
- 日期联想：2026 年 10 月 24 日按“月 / 日 / 两位年份”写作 10/24/26，恰好有 10² + 24² = 100 + 576 = 676 = 26²。WonderLab 与 Seattle Universal Math Museum 已公布当天的勾股主题活动；勾股数指满足 a² + b² = c² 的三个正整数；例如 1、1、√2 满足勾股定理，却不是勾股数。这里借日期说明一组勾股数，不把它当作通用日期格式或全球统一节日。此例是静态算式；上方实验的直角边滑块仍限 1–8，不能直接输入 10 和 24。
计算与适用范围
已知两条直角边时，c = √(a² + b²)，长度取正平方根；已知斜边 c 和直角边 a 时，b = √(c² − a²)，且 c > a > 0。边长可为正实数，不要求整数，也不要求 a < b。图中的数值显示可能经过四舍五入，几何恒等式本身是精确的；改变图形的显示大小或只试几个数值，都不能代替一般证明。
常见误区
- 长方体的体对角线，也能用勾股定理吗？可以，但要先找到两个平面直角三角形。设长、宽、高分别为正数 a、b、h，且单位相同。底面对角线 e 满足 e²=a²+b²；高所在的棱垂直于底面，因此也垂直于与它相交的底面对角线。体对角线 d 是第二个直角三角形的斜边，所以 d²=e²+h²=a²+b²+h²。例：长3、宽4、高12，底面对角线是5，体对角线是13，不能把5当作体对角线。一般斜棱柱不能直接套这条公式；本页上方仍是平面三角形实验，这里只是静态延伸。
- 过早取近似值：计算过程中先保留根式，或使用计算器中的完整数值，最后再按题目要求取近似值；要求精确值时就保留根式。例如，边长为 1 的正方形，两条对角线总长为 2√2，保留两位小数是 2.83；若先把每条对角线取成 1.41，再相加就会得到 2.82。
- 把任意最长边都叫斜边：只有直角三角形才有斜边，它总在直角对面。图形旋转以后，斜边的身份不变。
- 把 a² + b² = c² 写成 a + b = c，或把 √(a² + b²) 拆成 a + b：3 和 4 的平方和是 25，开方得到 5，不是 7；c² 表示面积，c 才表示长度。
- 忘记直角条件：两边长为 3、4，夹角为 60° 时，由余弦定理，第三边的平方 c² = 3² + 4² − 2 × 3 × 4 × cos 60° = 13，不等于 25。这里 c = √13，且不能把 c 称为斜边。非直角三角形不能直接对三边套用勾股定理，但可以向对边所在直线作高，在形成的两个直角三角形中分别使用；垂足也可能落在边的延长线上。能否求出未知量，还要看已知条件是否足够。
- 以为拼图只要看起来能摆进去就算证明：必须说明两次使用同样大的外框、同四块三角形，并且各自无重叠、无遗漏；摆法一的中间图形还必须证明是正方形。
- 把定理和逆定理混用：求边长要先有直角条件；判定直角则要先确认三边组成三角形，并比较最长边的平方与另外两边的平方和。测量值近似相等，只能说明在测量精度内接近直角。
自测与答案
一个三角形的两边是 3 和 4，就能断定第三边是 5 吗？若已知三边为 5、12、13，又该怎样判断它是否为直角三角形？
不能。还需要知道 3、4 两边的夹角是 90°；若夹角是 60°，第三边为 √13。对于 5、12、13，最长边是 13，且 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13²，由逆定理可知 13 对面的角是直角。
延伸学习
换成半圆呢？分别以直角三角形的三边 a、b、c 为直径作半圆，面积为 πa²/8、πb²/8、πc²/8，因此两个小半圆的面积之和等于大半圆。更一般地，三边若分别对应三个相似图形中的同一类长度，面积就能写成 Ka²、Kb²、Kc²，且 K 相同；混用不同形状或非对应长度不能直接这样相加。这是已知勾股定理与面积缩放的推论，不是另一份勾股证明。相似课解释长度乘 k 时面积为什么乘 k²。