几何 / 相似与比例
相似三角形 Similar triangles
路灯下，影长和距离怎样变化？
先认对应边，
再写比例式。
网格每格 1 m。只调 x 时视野固定；换 H、h 后自动适配。影长 s 从脚下开始量。
H / (x+s) = h / ss = hx / (H−h) = 2 m
只有彩色三角形在变换，灯和人没有移动。 终点放大 H/h = 3 倍。
两个直角，加上同一个影尖角
直角相等 + 共同角 → AA 相似
两个三角形在地面处都是直角，共享影尖处的锐角。相似是根据角度判定，不是因为看起来像。
固定 H、h 时：s / x = h / (H−h) = 0.50。只把 x 翻倍，s 也翻倍；改变 H 或 h，就换了比例系数。
跟着图计算
数值使用米；x 是人离灯距离，q 是影尖离灯距离。代码只计算，不证明相似；当前实验范围保证差值和结果可表示。
当前：H=6，h=2，x=4；s = 2，q = 6。
const H = 6, h = 2, x = 4;
// 本实验：4 ≤ H ≤ 10, 1 ≤ h ≤ 3, 1 ≤ x ≤ 8（米）
if (!(H > h && h > 0 && x > 0)) {
throw new Error("不满足有限影长模型");
}
const s = h * x / (H - h);
const q = H * x / (H - h); // 影尖距灯底
// 保留计算精度，只在显示时取近似值先预测：灯高 6 m、身高 2 m，人从 4 m 走到 8 m，影长和影尖距离各是多少？
影长从 2 m 变成 4 m；影尖距灯底从 6 m 变成 12 m。两者不同，不能把影长当成影尖的位置。
看完图，带走这些结论
两个三角形有两组对应角相等，就由 AA 判定相似，对应边成比例。在本页的平地点光源模型中，灯高 H、身高 h、离灯距离 x、影长 s 满足 H/(x+s)=h/s，因此 s=hx/(H−h)。固定 H、h 时，s 与 x 成正比。
适用条件与边界
地面水平，灯和人竖直，灯是固定的理想点光源，身体简化为竖直线段；所有长度使用米。有限远端影尖要求 H>h>0 且 x>0。实验限制灯高 H 为4–10、身高 h 为1–3、离灯距离 x 为1–8，步长0.5；这保证两三角形非退化、数值有限。忽略物体宽度、光源大小、散射和半影。
始终保持的规律
在平地、竖直、固定点光源且 H>h>0、x>0 的模型中，两三角形始终 AA 相似，H/h=(x+s)/s。以影尖为中心放大 H/h 倍，小三角形恰好覆盖大三角形。
逐步例子
- 命名三个距离：x 从灯底量到脚，s 从脚量到影尖 T，q=x+s 从灯底量到影尖。大三角形的高为 H、底为 q；小三角形的高为 h、底为 s。
- 竖直线与水平地面垂直，所以两三角形各有一个直角；它们还共享影尖 T 处的锐角。两组对应角相等，由 AA 判定相似。
- 把对应边写成同一顺序：大高/小高=大底/小底，即 H/h=(x+s)/s；也可写 H/(x+s)=h/s。不能把大底边写成 x。
- 交叉相乘得 Hs=h(x+s)，整理为 (H−h)s=hx。由于 H>h，所以 s=hx/(H−h)，影尖位置 q=Hx/(H−h)。
- 例子：H=6、h=2、x=4，影长 s=2×4/(6−2)=2 m，影尖距灯底 q=4+2=6 m。把 x 改为8，s=4 m、q=12 m；H、h 不变时比例系数 s/x=1/2 不变。
- 以影尖 T 为中心，把小三角形放大 H/h 倍。脚映到灯底，头映到灯顶，T 保持不动，恰好覆盖大三角形。动画只是展示对应关系；一般结论来自 AA 相似与上述代数推导。
模型边界与计算
只在最后显示时取近似值，计算中保留精度。x=0 时 s=0 是这一模型从右侧趋近的极限，但三角形退化，不能在那里用 AA 图形作证。x>0 时，H=h 的头顶光线水平，H<h 时越过头顶的射线向上，都没有本模型所需的有限远端地面影尖；不能除以0或将负结果叫影长。太阳光通常近似平行光，属于另一个模型，不能套用离路灯距离的结论。
常见误区
- 混淆影长 s 与影尖位置 q=x+s。H=6、h=2、x=4 时它们分别是2 m和6 m，不是同一个数。
- 只因两个三角形都有直角就判相似：还需要第二组对应角相等，本例来自共同的影尖角。
- 两三角形分别满足勾股定理，但这里连接它们大小的关键是相似比例；不能只把 x、h、s 当作同一个直角三角形的三边。
- 影长与离灯距离成正比的前提是 H、h 固定。调灯高或身高会改变系数 h/(H−h)，不再是同一个正比例关系。
- 放大倍数是对应边长的比 k=H/h>1：小三角形的三条边都乘 k，周长作为三边之和也乘 k；底和对应的垂直高都乘 k，所以面积“½×底×高”会乘 k²。按大/小的同一顺序，边长比、周长比、面积比分别为 k、k、k²；改成小/大则分别为 1/k、1/k、1/k²。图中的半透明轮廓在变换，不是人真的变高。
自测与答案
灯高6 m、身高2 m，人离灯4 m。若只把离灯距离改为8 m，影长和影尖距灯底分别是多少？若只改变身高，原来的 s/x=1/2 还保持吗？
影长4 m，影尖距灯底12 m。改变身高会改变 h/(H−h)，所以一般不再保持1/2；不能把三个距离混为一谈，也不能漏掉固定高度的条件。