弧度 Radians

适用条件与边界

本页只取从右侧起始半径逆时针转过的单圈角，0≤θ≤2π，对应0–360°。半径 r>0，r和s必须使用同一长度单位。实验采用厘米，r为0.5–2 cm；只在显示时保留近似值。负角、多圈和有向弧长不在本课范围内。

始终保持的规律

固定圆心角时，弧长s与半径r按同一比例缩放，θ=s/r保持不变；展开过程中同一段曲线的解析长度始终为rθ。

逐步例子

1. 先取一个圆心角，量出它选中的弧长 s 和圆半径 r。弧度值定义为 s/r；若弧长恰好等于一个半径，圆心角就是1 rad。
2. 保持角度不变，把圆半径放大到原来的两倍。相似缩放使对应弧长也变为两倍，于是 (2s)/(2r)=s/r，角度的弧度值不变。
3. 一整圈弧长为2πr，所以整圈角为2πr/r=2π rad，对应360°；半圈是π rad，直角是π/2 rad。1 rad约等于57.296°，不是1°。
4. 为什么换算时乘 π/180？设同一转角的度数为 d、弧度数为 θ，它占整圈的比例相同：d/360=θ/(2π)，所以 θ=dπ/180；反过来 d=180θ/π。这里 d、θ 是两种角度单位下的数值，换算不依赖圆的半径。
5. 初始例 r=1 cm、角90°：θ=π/2 rad，s=rθ=π/2 cm，约1.571 cm。此时长度和角度数值相同，单位与含义仍不同。
6. 只把半径改为2 cm，角仍为90°：s=π cm，约3.142 cm；s/r=π/2，仍是同一个角。这里不能把弧长π直接当作角的弧度值。
7. 把选中的弧展开。画面用弧长参数与逐渐减小的曲率生成曲线，每一帧的解析长度都为rθ，最终直线长度也是rθ。折线采样只是屏幕近似，不把普通压扁图形当作保长证明。

定义、单位与边界

弧度值s/r是同单位长度之比，数值不随厘米或米的选择改变；rad用于标明这是角度。所谓单位圆是选定坐标长度单位后半径数值为1的圆。0°时弧退化为点、s=0；360°时起终点重合，但选中的是整条圆周，s=2πr，不是0。半径0不允许，因为比值无法定义。代码用浮点近似，展示四舍五入不改变定义。

常见误区

• 把弧度当作弧长：s有长度单位，θ=s/r是角的弧度值；只有半径数值为1时二者数值才相同。
• 把90直接代入s=rθ：90°必须先换为π/2 rad；否则得到的不是这段弧长。
• 把弦长当作弧长：连接两端的直线是弦，不是沿圆周走过的弧。展开动画改变整条曲线的弯曲程度，不是用端点连线替换圆弧。
• 看起终点重合就判断为0：本课单圈约定里0°和360°是两个不同状态，后者走过完整一圈。
• 把屏幕缩放当作半径变化：显示区域缩放会改变像素长度，不改变标注的厘米与角度；实验调半径才改变r。
• 弧长就是扇形周长吗？弧长s只计算弯曲的一段。半径r>0、0<θ<2π时，普通扇形的边界还有两条半径，所以周长P=s+2r=rθ+2r。面积衡量内部大小，用平方单位。θ=2π时图形成为整圆，边界只有圆周，周长为2πr，不重复计入半径；θ=0是退化情形，本实验只将其弧长读为0，不套用普通扇形周长公式。

自测与答案

半径2 cm的圆，弧长为2 cm时角有多少弧度？半径改成1 cm而角不变，弧长是多少？整圈起终点相同是否表示弧长0？

θ=s/r=1 rad，约57.296°。半径变1 cm后弧长为1 cm，角仍为1 rad。整圈弧长为2πr；起终点相同并不等于没有走过圆周。